کاردرکلاس3 صفحه 28 ریاضی دهم هنرستان
(الف) دو کمیت متناسب را نام ببرید که با هم رابطه معکوس داشته باشند.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام کاردرکلاس3(الف) صفحه 28
دو کمیتی که با هم رابطه معکوس دارند به گونه‌ای هستند که اگر یکی افزایش یابد، دیگری کاهش می‌یابد و بالعکس. به عنوان مثال، سرعت و زمان پر کردن یک مخزن آب: هر چقدر سرعت افزایش یابد، زمان پر شدن مخزن کاهش می‌یابد. این نشان‌دهنده **رابطه معکوس** بین سرعت و زمان است.
کاردرکلاس3 صفحه 28 ریاضی دهم هنرستان
(ب) با در نظر گرفتن ارتباط این دو کمیت، مسئله‌ای طرح کنید.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام کاردرکلاس3(ب) صفحه 28
مسئله زیر می‌تواند برای درک این رابطه مطرح شود:
فرض کنید دو نفر مسابقه‌ای برای پر کردن یک مخزن آب دارند. نفر اول با سرعت 10 لیتر در دقیقه و نفر دوم با سرعت 20 لیتر در دقیقه آب را به مخزن اضافه می‌کنند. اگر مخزن 100 لیتر ظرفیت دارد، زمان لازم برای پر کردن مخزن توسط هر نفر را محاسبه کنید و تفاوت را توضیح دهید. این مسئله نشان می‌دهد که اگر سرعت (کمیت اول) دو برابر شود، زمان (کمیت دوم) نصف می‌شود، که بیانگر **رابطه معکوس** است.
کاردرکلاس3 صفحه 28 ریاضی دهم هنرستان
(2 الف) شمعی به طول 14 سانتی‌متر را روشن می‌کنیم. این شمع در هر 5 دقیقه 1 سانتی‌متر کوتاه می‌شود. جدول زیر را کامل کنید:
| زمان بر حسب دقیقه | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
| طول شمع | 14| ? | ? | ? | ? | ? |
| میزان کاهش طول شمع | 0 | ? | ? | ? | ? | ? |
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام کاردرکلاس3(2 الف) صفحه 28
برای کامل کردن جدول، باید دقت کنیم که شمع هر 5 دقیقه 1 سانتی‌متر کوتاه می‌شود. بنابراین:
- در 5 دقیقه: طول شمع = 14 - 1 = 13 سانتی‌متر
- در 10 دقیقه: طول شمع = 14 - 2 = 12 سانتی‌متر
- در 15 دقیقه: طول شمع = 14 - 3 = 11 سانتی‌متر
- در 20 دقیقه: طول شمع = 14 - 4 = 10 سانتی‌متر
- در 25 دقیقه: طول شمع = 14 - 5 = 9 سانتی‌متر
و میزان کاهش طول شمع به ترتیب 0، 1، 2، 3، 4 و 5 سانتی‌متر است. این روند نشان می‌دهد که طول شمع به مرور زمان و به صورت خطی کوتاه می‌شود.
کاردرکلاس3 صفحه 28 ریاضی دهم هنرستان
(2 ب) با افزایش زمان، طول شمع چگونه تغییر می‌کند؟ با توجه به سطرهای اول و دوم جدول، آیا زمان و طول شمع کمیت‌های متناسب معکوس یکدیگرند؟ چرا؟
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام کاردرکلاس3(2 ب) صفحه 28
با افزایش زمان، طول شمع کاهش می‌یابد. در بررسی سطرهای اول و دوم جدول، مشاهده می‌شود که با افزایش 5 دقیقه‌ای زمان، طول شمع 1 سانتی‌متر کاهش می‌یابد.
این دو کمیت (زمان و طول شمع) معکوس یکدیگر نیستند بلکه **رابطه خطی** دارند؛ زیرا با افزایش یک واحد از زمان، یک واحد از طول شمع کم می‌شود. رابطه معکوس به این معناست که محصول دو کمیت ثابت باشد که در اینجا چنین نیست.
کاردرکلاس3 صفحه 28 ریاضی دهم هنرستان
(2 پ) با توجه به سطرهای اول و سوم جدول، چه رابطه‌ای بین زمان و میزان کاهش طول شمع وجود دارد؟ این دو کمیت چه نوع رابطه‌ای با هم دارند؟
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام کاردرکلاس3(2 پ) صفحه 28
با توجه به سطرهای اول و سوم جدول، می‌بینیم که رابطه **مستقیمی** بین زمان و میزان کاهش طول شمع وجود دارد؛ زیرا هرچه زمان بیشتر شود، میزان کاهش طول شمع نیز بیشتر می‌شود و این افزایش به صورت خطی و ثابت است.
به عبارتی، اگر زمان t دقیقه باشد و کاهش طول L سانتی‌متر، رابطه L = \frac{t}{5} \) برقرار است، که بیانگر **رابطه مستقیم** میان این دو کمیت است.
